Вероятность. Дискретное и непрерывное вероятностные пространства

Одной из наиболее трудных задач, возникающих в процессе моделирования, является определение значений показателей: цены информации, уровня угрозы и вероятности ее реализации, затрат на предотвращение угроз. Такая проблема возникает при решении любых слабоформализуемых задач. Поэтому ей уделяется посто­янное внимание, хотя до ее решения еще далеко. Отсутствие одно­значной зависимости результата решения слабоформализуемой за­дачи от исходных данных, их неопределенность и недостоверность существенно затрудняют использование традиционного математического аппарата. Более того, часто этого не следует делать, так как при недостоверных исходных данных можно получить результат, далекий от реального.

Так как люди в повседневной жизни решают слабоформализу­емые задачи чаще, чем точные, то в процессе эволюции создан ме­ханизм их решения с приемлемой для выживания homo sapies точ­ностью. Алгоритм их решения на бессознательном уровне пока не известен, но получены полезные эвристические рекомендации.

Так как решение слабоформализуемых задач производит чело­век, в дальнейшем - лицо, принимающее решение (ЛПР), то ис­пользуемые методы объективно должны основываться на способ­ностях и возможностях ЛПР по решению таких задач. Они учиты­вают следующие эмпирические положения:

Точность решения ЛПР слабоформализуемых задач обратно пропорциональна их сложности, причем ЛПР может в среднем оперировать одновременно с 5-9 понятиями;

Объективность оценок ЛПР показателей процедур решения сла­боформализуемых задач в условиях недостаточной и недосто­верной информации выше при использования им качественных шкал, чем количественных;

При ограниченности ресурса его целесообразно использовать, прежде всего, для предотвращения угроз с максимальным ущер­бом;

Эффективность использования ресурса выше при его комплек­сном применении, когда одни и те же меры предотвращают не­сколько угроз.

Из этих достаточно общих положений следует, что для повы­шения точности и объективности ЛПР выбора, целесообразно:

Детализировать алгоритм решения слабоформализуемой зада­чи, разбивая его на этапы и процедуры, при определении пока­зателя которых возникает меньше ошибок;

При оценке показателей отдельных этапов и процедур использо­вать качественные шкалы с числом градаций (значений) в пре­делах 5-9;

Проранжировать угрозы безопасности информации по потенци­альному ущербу и расходование ресурса на предотвращение угроз производить последовательно, начиная с мер предотвраще­ния угрозы с максимальным ущербом;

При разработке мер защиты учитывать влияние предыдущих мер на снижение ущерба рассматриваемой угрозы.

Действительно, если человек не знает точного количественно­го значения какого-либо показателя, он заменяет его качественной мерой: высокий человек, большая цена, длинный путь, малая веро­ятность и др. При этом его качественные оценки могут весьма точ­ными и однозначными.

В настоящей главе в сжатом виде представлена эволюция теории вероятностей от классической схемы с конечным числом равновозможных исходов до аксиоматического построения. Вводятся важнейшие понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, случайные события и действия над ними, поле событий, вероятность, вероятностное пространство.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенного комплекса условий. Так, например, вода при нормальных атмосферных условиях и 0° С замерзает. Соответственно, невозможным является событие, которое при заданном комплексе условий никогда не произойдет. Случайным естественно назвать такое событие, которое при заданном комплексе условий может как произойти, так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий.

Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С, .......Достоверное событие обозначим буквой?2, невозможное - символом 0. Введем теперь некоторые отношения между событиями.

Два события А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Сумма событий А, В - это такое третье событие С = А + В, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо они оба одновременно. Произведение событий А, В - это такое событие С = АВ, которое наступает тогда, когда происходят и событие А, и событие В. Событие А противоположно событию А, если оно несовместно с событием А и вместе с ним образует достоверное событие А + А = Q..

Покажем, как могут быть построены математические модели явлений с конечным числом исходов. Одной из таких моделей является модель, известная под названием «классическая вероятностная схема». В этой схеме определение вероятности основывается на равновозмож- ности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх.

Так, в случае с игральной костью при однократном бросании равновозможно выпадение любой из шести граней, на которые нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Обозначим эти равновозможные исходы, или элементарные события, через С0|, (% (% а> 4 , СО5, (% Естественно, что шанс осуществиться не одному исходу, а одному из двух, например или С0[, или (рг, в два раза больше. Рассуждая таким образом, можно определить шансы осуществления любого составного события А, состоящего из нескольких элементарных, так называемого составного события.

В общем случае, когда имеется п равновозможных элементарных событий (Oi, ..., сц, вероятность любого составного события А, состоящего из т элементарных событий,...,со, определяется как

отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий, т.е.

Например, в случае с игральной костью вероятность события А, состоящего в выпадении четного числа очков (т.е. А = {со^, (% оу}), равна Р(А) = 3 / б = V 2 , так как в событие А входят три элементарных события, а общее число элементарных событий равно 6.

Из классического определения вероятности, в частности, вытекает, что вероятность полного события?2, включающего все п элементарных событий, равна единице:

Но ведь тогда полное событие?2, состоящее в появлении любого из всего набора элементарных событий?2 = {со, ..., щ,}, и является достоверным событием, так как оно обязательно происходит. Поэтому вероятность достоверного события равна единице.

Если события рассматривать как подмножества множества элементарных событий, то отношения между событиями, введенными выше, можно интерпретировать как соотношения между множествами. Несовместные события - это такие события, которые не содержат общих элементов. Сумма (А + В) и произведение событий А В - это соответственно их объединение A U В и пересечение А П В , противоположное событие А - дополнение А. Запись А с В означает, что в В содержатся все элементарные события из А и могут содержаться элементарные события, не входящие в А. Если AczBnBcz А, то А = В.

В случае классического определения вероятности справедлива следующая теорема сложения вероятностей:

Теорема 1.1. Если два составных события Л = {со,.со, } и В = {со у,..., соj } являются несовместными, то вероятность объединенного события С = A U В равна сумме вероятностей этих двух событий.

Действительно, вероятности событий А и В равны соответственно т/п и к/п, а событие С = A U В = {со,.,..., со,- ,со,-,...,со, } содержат

т + к элементарных событий, так как по условию теоремы среди элементарных событий {со,.,...,со, } нет ни одного, которое бы входило

в набор {С0у,..., С0д}, поэтому, согласно классическому определению, его вероятность

Из теоремы сложения вытекает, что поэтому

Отсюда, в частности, следует, что вероятность невозможного события, являющегося противоположным по отношению к достоверному событию, равна нулю:

Урновая схема

Классическая схема, несмотря на всю свою ограниченность, пригодна для решения ряда сугубо практических задач.

Рассмотрим, например, некоторую совокупность элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным; или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет; или избиратели, которые могут проголосовать за или против кандидата, и т.д. Подобного рода ситуации описываются урновой схемой: в урне имеется N шаров, из них М белых и (N - М) черных.

Представим себе, что имеются только разрушающие средства контроля каждого изделия на годность. Например, электролампа считается годной, если до перегорания нити накаливания пройдет не менее чем определенное число часов, а это можно определить только непосредственным испытанием. В таком случае можно обследовать только часть изделий, а не всю партию.

Итак, из урны, содержащей N шаров, в которой находится неизвестное число М белых шаров, извлекается выборка объема п.

Требуется определить вероятность того, что в выборке будет обнаружено т белых шаров. В частности, определить вероятность того, что т/п близко к M/N, т.е. достоверно ли представление о генеральной совокупности, полученное по выборке. Последняя из этих двух сформулированных задач, как будет показано далее, является задачей математической статистики.

Первая же задача - на применение классического определения вероятности. В самом деле, в описанной ситуации каждая выборка не имеет предпочтения по отношению к любой другой, т.е. все они равновозможны. Подсчитаем число всех возможных выборок объема п из N элементов. Как известно из комбинаторики, число способов, с помощью которых можно выбрать п элементов из общего их числа

N, равно числу сочетаний из N по л, т.е. с" = ^" где /V! =

N n(N - и)!’

1 2-N. Таким образом, общее число равновозможных исходов равно C " N . Выясним, сколько исходов из общего числа элементарных исходов благоприятствуют событию А, т.е. наличию в выборке объема п белых шаров в количестве т. Число способов, которыми можно из М белых шаров извлечь т штук, равно, а число способов выбрать из (N-М) черных шаров (« - т) штук равно С^~_ т м. Поэтому число исходов, благоприятных событию А, равно С^С^~_ т м, следовательно,

вероятность события А, равная отношению числа благоприятных исходов к их общему числу, такова:

Пример 1.1. Пусть имеется партия, состоящая из 500 изделий, среди которых два бракованных. Какова вероятность в выборке из 5 изделий нс обнаружить ни одного бракованного?

Воспользуемся формулой (1.1.3):

Какой вывод можно сделать о генеральной совокупности, не обнаружив в выборке ни одного бракованного изделия? Кажется естественным перенести этот вывод на всю генеральную совокупность. Таким образом, при выборке, составляющей 1% от генеральной совокупности, мы получили с вероятностью 0,98 абсолютно неправильный ответ: в генеральной совокупности нет бракованных изделий. Этот вывод из очень простой задачи должен не обескуражить, а, напротив, помочь правильно построить статистические выводы по выборочным данным. В рассматриваемом случае, очевидно, не следует пытаться оценивать долю бракованных изделий (N - M)/N по их доле в выборке (п - т)/п, а, по-видимому, целесообразно указывать интервал, который с определенной надежностью должен накрыть неизвестную долю бракованных изделий (N- M)/N. Этот интервал естественно задать в виде

--- ± 8, где ширина интервала 8(п, q) является функцией от объема п

выборки п и уровня надежности ц.

Причем естественно ожидать (в чем мы и убедимся в дальнейшем), что ширина интервала при прочих равных условиях уменьшается с ростом объема выборки и увеличивается при возрастании уровня надежности.

Как отмечалось выше, говорить о вероятности Р(Л) как о мере возможности осуществления случайного события А имеет смысл, только если выполняется определенный комплекс условий. При изменении условий изменится и вероятность. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(А), добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности Р(А/В) - условную вероятность события А при условии, что произошло событие В. Вероятность Р(А) в отличие от условной будем называть безусловной.

Выведем теперь формулу условной вероятности. Пусть событиям А и В благоприятствуют тик элементарных исходов из «; тогда, согласно формуле (1.1.1), их безусловные вероятности равны т/п и к/п соответственно. Пусть событию А при условии, что событие В произошло, благоприятствуют г элементарных исходов, тогда, согласно формуле (1.1.1), условная вероятность события А

Разделив числитель и знаменатель на п, получим формулу условной вероятности:

поскольку событию А П В соответствует г исходов и, следовательно, г/п - его безусловная вероятность. Событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. Р(А/В) = Р(А), при этом из формулы (1.1.4) получаем

т.е. свойство независимости взаимно и для независимых событий, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. Формула (1.1.4), записанная в виде

называется формулой умножения для зависимых событий, а формула (1.1.5) - теоремой умножения для независимых событий.

Например, в опыте с игральной костыо: пусть событие А состоит в выпадении числа очков, делящегося на три, т.е. А = {со, с%}, а событие В - в выпадении четного числа очков, т.е. В = {со^, щ, ссц}; тогда А П В = со 6 и по формуле условной вероятности (1.1.4) получаем:

но Р(А) = 2 / 6 = Уз, поэтому Р(А/В) = Р(А), т.е. события Aw В независимы.

Как строгой математической дисциплины.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками : ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } ), где

  Замечания

  Конечные вероятностные пространства

  Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть - конечное множество, содержащее | Ω | = n {\displaystyle \vert \Omega \vert =n} элементов.

  В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств Ω {\displaystyle \Omega } . Его часто символически обозначают 2 Ω {\displaystyle 2^{\Omega }} . Легко показать, что общее число членов этого семейства, то есть число различных случайных событий, как раз равно 2 | Ω | {\displaystyle 2^{\vert \Omega \vert }} , что объясняет обозначение.

  Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:

  P (A) = n A n {\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {n_{A}}{n}}} ,

  где A ⊂ Ω {\displaystyle A\subset \Omega } , и | A | = n A {\displaystyle \vert A\vert =n_{A}} - число элементарных исходов, принадлежащих A {\displaystyle A} . В частности, вероятность любого элементарного события:

  P ({ ω }) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . {\displaystyle \mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\;\forall \omega \in \Omega .}

  Пример

  Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба ( Γ {\displaystyle \Gamma } ) и выпадение решки ( P {\displaystyle \mathrm {P} } ), то есть Ω = { Γ , P } . {\displaystyle \Omega =\{\Gamma ,\mathrm {P} \}.} Тогда A = { { Γ } , { P } , { Γ , P } , ∅ } , {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{\{\Gamma \},\{\mathrm {P} \},\{\Gamma ,\mathrm {P} \},\varnothing \},} и вероятность можно посчитать следующим образом:

  P ({ Γ }) = 1 2 , P ({ P }) = 1 2 , P ({ Γ , P }) = 1 , P (∅) = 0. {\displaystyle \mathbb {P} (\{\Gamma \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\mathrm {P} \})={\frac {1}{2}},\;\mathbb {P} (\{\Gamma ,\mathrm {P} \})=1,\;\mathbb {P} (\varnothing)=0.}

  Таким образом определена тройка (Ω , A , P) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})} - вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.

  Определение вероятностного пространства

  При построении математической модели мы должны найти компромисс между двумя обстоятельствами. С одной стороны, она должна быть достаточно подробной, чтобы учесть все существенные черты изучаемого явления. С другой стороны, необходимо отбросить все несущественные детали, затемняющие суть дела. Излишняя подробность затрудняет изучение свойств модели, а чрезмерное упрощение может привести к неправильным выводам относительно поведения реальной системы.

  Мы начинаем изучение курса теории вероятностей с исследования свойств моделей таких случайных экспериментов, которые имеют конечное или счетное число исходов. Элементарным исходом мы будем называть такое событие, которое однозначно (с определенной точки зрения) говорит о том, чем закончился эксперимент. Это сразу же накладывает на множество элементарных исходов следующее важное ограничение: в каждом испытании происходит один и только один элементарный исход.

  Чтобы понять, как должна выглядеть наша модель, рассмотрим пример. Однородный игральный кубик в одинаковых условиях подбрасывают много раз и отмечают число очков, выпавших на верхней грани. Ясно, что в этом эксперименте есть 6 элементарных исходов, которые мы обозначим(означает, что выпало к очков). Пусть- относительная частота появления исхода. Тогда эти частоты обладают следующими свойствами:

  1

  2

  Как отмечалось выше, частоты тяготеют к некоторым числам, которые мы будем называть вероятностями этих исходов. Ясно, что они должны наследовать свойства частот. Эти предварительные рассмотрения приводят нас к следующему определению.

  Определение 1. Дискретным вероятностным пространством называется пара, где -конечное или счетное множество, Р - вещественная функция, заданная на, такая, что

  1)

  2)

  Множество называется пространством элементарных исходов, его элементы -элементарными исходами, а число - вероятностью появления элементарного исхода .

  Пример 1. Симметричную монету подбрасывают один раз. Здесь два элементарных исхода: выпал герб - Г, выпала цифра - Ц. Таким образом,. В силу симметрии естественно положить 5

  Пример 2. Однородный симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. В этом случае

  Другие примеры будут приведены на практических занятиях. Важную роль играет следующий частный случай дискретного вероятностного пространства.

  Определение 2 . Говорят, что мы имеем задачу на классическое определение вероятности, если-конечное множество и для всех,, т.е. все исходыравновозможны.

  Обычно предположение о равновозможности исходов делается из соображений симметрии задачи. Но так ли это на самом деле (т.е. верна ли модель), можно установить только из сравнения с экспериментальными данными.

  События и операции над ними

  До сих пор мы рассматривали только элементарные исходы, т.е. в некотором смысле простейшие события. Но кроме них нас могут интересовать и другие, более сложные события. В примере 2 мы можем рассмотреть событие А, состоящее в том, что выпало четное число очков. В теории вероятностей о каждом событии мы хотим знать только одно: произошло оно или нет в данном испытании. Каждое испытание (т.е. однократное проведение эксперимента) заканчивается появлением одного из элементарных исходов, которые однозначно описывают то, чем закончился эксперимент. В частности, по элементарному исходу можно определить, произошло событие А или нет. Поэтому все элементарные исходы делятся на две группы: те , которые приводят к появлению события А (назовем их благоприятными этому событию), и все остальные. С точки зрения их появления в рассматриваемом эксперименте событие А и множество благоприятных для него исходов являются для нас эквивалентными. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

  Определение 3 . Случайным событием назовем произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Будем говорить, что событие произошло, если появился элементарный исход, ему принадлежащий, т.е. благоприятный.

  Пример 3. Подбрасывают игральный кубик, А - выпала четная цифра. Тогда

  В силу того, что каждое случайное событие отождествляется с некоторым подмножеством А пространства элементарных исходов О, различные операции над множествами позволяют определить некоторые операции над событиями. С точки зрения теории вероятностей каждое событие характеризуется только тем, когда оно происходит, а когда нет. Поэтому определения операций над событиями даются именно в этих терминах. С другой стороны, они соответствуют определенным операциям над множествами. Отсюда появляется определенная двойственность терминологии.

  Определение 4 .

  1) Событие называется достоверным, если оно происходит всегда, и невозможным, если оно никогда не происходит. Этим событиям соответствуют все пространствои пустое множество.

  2) Объединением двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих двух событий. На языке теории множеств это соответствует операции объединения множеств и обозначается как

  3) Пересечением двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба эти события одновременно. Это соответствует операции пересечения множеств и обозначаетсяили

  4) События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут происходить одновременно. Это соответствует непересекающимся множествам и обозначается

  5) Суммой событий А и В называется их объединение в случае, когда они несовместны. Это не новая операция, а частный случай определения 2 и обозначается

  6) Событиеназывается противоположным к событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. На языке теории множеств это соответствует переходу к дополнению множества А.

  7) Разностью двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит А и не происходит В. Это соответствует операции разности множеств и обозначается

  8) Говорят, что событие А влечет событие В, если при появлении события А, обязательно происходит и событие В. Это означает, что множество А есть часть (подмножество) множества В и обозначается

  Чтобы наглядно представлять себе операции над событиями, полезно рисовать их в виде некоторых фигур на плоскости, например кругов. Картинки такого рода называются диаграммами Венна.

  Конкретные примеры событий и операций над ними будут рассмотрены далее, а также на практических занятиях. Некоторые свойства операций над событиями собраны в следующем предложении.

  Предложение 1

  

  Задача 1. Доказать предложение 1.

  Во многих задачах нас интересует не все множество событий, связанных с данным экспериментом, а только некоторые из них. Но всегда нам хотелось бы, чтобы определенные выше операции над событиями не выводили нас за пределы рассматриваемого множества событий. В связи с этим полезно следующее понятие.

  Определение 5 . Некоторый класс событий называется алгеброй событий, если

  

  Задача 2. Доказать, что все определенные выше операции не выводят нас за пределы алгебры

  С практической точки зрения выбор некоторой алгебры событий соответствует определенному взгляду на случайный эксперимент. Алгебра событий - это только те события, которые нас интересуют с этой точки зрения (например, те, которые доступны наблюдению).

  Вероятности событий и их свойства

  До сих пор мы рассматривали только вероятности элементарных исходов. Теперь мы определим вероятности событий и исследуем некоторые их свойства.

  Определение 6 . Вероятностью события А называется число

  (2.1)

  Пример 4. Симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность события А, состоящего в том, что выпала четная цифра.

  В этом случае,.

  Пример 5. Пусть мы имеем задачу на классическое определение вероятности. Если, где- общее число элементарных исходов, а- число благоприятных исходов для события

  А, то

  Именно этот результат обычно приводят в качестве определения в элементарных учебниках по теории вероятностей.

  Соберем некоторые простейшие свойства вероятностей в виде следующего предложения.

  Предложение 2 . Пусть выделена некоторая алгебра событий, для которых определены вероятности по формуле (1). Тогда справедливы следующие свойства:

  Доказательство. Основными являются свойства 1-3. Только здесь мы будем использовать в явном виде то, что мы работаем в рамках дискретного вероятностного пространства. Все остальные свойства будут выведены из этих трех.

  Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определений дискретного вероятностного пространства и вероятности события.

  Докажем свойство 3. Пусть, вначале,. Тогда мы имеем два событияи. Так как они несовместны, то исходы распадаются на два непересекающихся класса: те, что принадлежат, и те, что принадлежат. В силу свойств рядов с неотрицательными членами имеем

  Для произвольного доказательство проводится по индукции. Предлагается это сделать самостоятельно.

  Свойство 4 очевидно следует из определения вероятности события и того, что сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1.

  Событияинесовместны, и. Используя свойства 2 и 3, имеем:

  Представим события А, В ив следующем виде:

  Этим доказано свойство 5.

  Свойства 6,7,8,9 можно доказать аналогично (сделать самостоятельно!).

  Докажем свойство 10. Для упрощения доказательства введем одно новое понятие, которое будет полезным и в других вопросах.

  Индикатором события А называется функция, заданная на пространстве элементарных исходовпо правилу:

  

  Легко доказать следующие свойства индикаторов событий.

  Вероятности и правила действия с ними. Для полного описания механизма исследуемого случайного эксперимента недостаточно задать лишь пространство элементарных событий. Очевидно, наряду с перечислением всех возможных исходов исследуемого случайного эксперимента мы должны также знать, как часто в длинной серии таких экспериментов могут происходить те или другие элементарные события. Действительно, возвращаясь, скажем, к примерам легко представить себе, что в рамках каждого из описанных в

  них пространств элементарных событий можно рассмотреть бесчисленное множество случайных экспериментов, существенно различающихся по своему механизму Так, в примерах 4.1-4.3 мы будем иметь существенно различающиеся относительные частоты появления одних и тех же элементарных исходов, если будем пользоваться различными моментами и игральными костями (симметричными, со слегка смещенным центром тяжести, с сильно смещенным центром тяжести и т. п.) В примерах 4.4-4.7 частота появления дефектных изделий, характер засоренности дефектными изделиями проконтролированных партий и частоты появления определенного числа сбоев станков автоматической линии будут зависеть от уровня технологической оснащенности изучаемого производства: при одном и том же пространстве элементарных событий частота появления «хороших» элементарных исходов будет выше в производстве с более высоким уровнем технологии.

  Для построения (в дискретном случае) полной и законченной математической теории случайного эксперимента - теории вероятностей помимо уже введенных исходных понятий случайного эксперимента, элементарного исхода и случайного события необходимо запастись еще одним исходным допущением (аксиомой), постулирующим существование вероятностей элементарных событий (удовлетворяющих определенной нормировке), и определением вероятности любого случайного события.

  Аксиома. Каждому элементу пространства элементарных событий Q соответствует некоторая неотрицательная числовая характеристика шансов его появления, называемая вероятностью события причем

  (отсюда, в частности, следует, что для всех ).

  Определение вероятности события. Вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих событие А, т. е. если использовать символику для обозначения «вероятности события А», то

  

  Отсюда и из (4.2) непосредственно следует, что всегда причем вероятность достоверного события

  равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю. Все остальные понятия и правила действий с вероятностями и событиями будут уже производными от введенных выше четырех исходных определений (случайного эксперимента, элементарного исхода, случайного события и его вероятности) и одной аксиомы.

  Таким образом, для исчерпывающего описания механизма исследуемого случайного эксперимента (в дискретном случае) необходимо задать конечное или счетное множество всех возможных элементарных исходов Q и каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторую неотрицательную (не превосходящую единицы) числовую характеристику интерпретируемую как вероятность появления исхода причем установленное соответствие типа должно удовлетворять требованию нормировки (4.2).

  Вероятностное пространство как раз и является понятием, формализующим такое описание механизма случайного эксперимента. Задать вероятностное пространство - это значит задать пространство элементарных событий Q и определить в нем вышеуказанное соответствие типа

  Очевидно, соответствие типа (4.4) может быть задано различными способами: с помощью таблиц, графиков, аналитических формул, наконец, алгоритмически.

  Как же построить вероятностное пространство, соответствующее исследуемому реальному комплексу условий? С наполнением конкретным содержанием понятий случайного эксперимента, элементарного события, пространства элементарных событий, а в дискретном случае -и любого разложимого случайного события затруднений, как правило, не бывает. А вот определить из конкретных условий решаемой задачи вероятности отдельных элементарных событий не так-то просто! С этой целью используется один из следующих трех подходов.

  Априорный подход к вычислению вероятностей заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента (до проведения самого эксперимента). В ряде ситуаций этот предопытный анализ позволяет теоретически обосновать способ определения искомых вероятностей. Например, возможен случай, когда пространство всех возможных

  элементарных исходов состоит из конечного числа N элементов, причем условия производства исследуемого случайного эксперимента таковы, что вероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов нам представляются равными (именно в такой ситуации мы находимся при подбрасывании симметричной монеты, бросании правильной игральной кости, случайном извлечении игральной карты из хорошо перемешанной колоды и т. п.). В силу аксиомы (4.2) вероятность каждого элементарного события равна в этом случае MN. Это позволяет получить простой рецепт и для подсчета вероятности любого события: если событие А содержит NA элементарных событий, то в соответствии с определением (4.3)

  

  Смысл формулы (4.3) состоит в том, что вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благоприятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности). В современной трактовке формула (4.3) не является определением вероятности: она применима лишь в том частном случае, когда все элементарные исходы равновероятны.

  Апостериорно-частотный подход к вычислению вероятностей отталкивается, по существу, от определения вероятности, принятого так называемой частотной концепцией вероятности (подробнее об этой концепции см., например, в , ). В соответствии с этой концепцией вероятность определяется как предел относительной частоты появления исхода со в процессе неограниченного увеличения общего числа случайных экспериментов т. е.

  

  где - число случайных экспериментов (из общего числа произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного события Соответственно для практического (приближенного) определения вероятностей предлагается брать относительные частоты появления события со в достаточно длинном

  ряду случайных экспериментов Подобный способ вычисления вероятностей не противоречит современной (аксиоматической) концепции теории вероятностей, поскольку последняя построена таким образом, что эмпирическим (или выборочным) аналогом объективно существующей вероятности любого события А является относительная частота осуществления этого события в ряду из независимых испытаний. Разными в этих двух концепциях оказываются определения вероятностей: в соответствии с частотной концепцией вероятность не является объективным, существующим до опыта, свойством изучаемого явления, а появляется только в связи с проведением опыта или наблюдения; это приводит к смешению теоретических (истинных, обусловленных реальным комплексом условий «существования» исследуемого явления) вероятностных характеристик и их эмпирических (выборочных) аналогов. Как пишет Г. Крамер, «указанное определение вероятности можно сравнить, например, с определением геометрической точки как предела пятен мела неограниченно убывающих размеров, но подобного определения современная аксиоматическая геометрия не вводит» (). Мы не будем здесь останавливаться на математических изъянах частотной концепции вероятности. Отметим лишь принципиальные сложности реализации вычислительного приема получения приближенных значений с помощью относительных частот Во-первых, сохранение неизменными условий случайного эксперимента (т. е. сохранение условий статистического ансамбля), при котором оказывается справедливым допущение о тенденции относительных частот группироваться вокруг постоянного значения, не может поддерживаться неограниченно долго и с высокой точностью. Поэтому для оценки вероятностей с помощью относительных частот не имеет

  смысла брать слишком длинные ряды (т. е. слишком большие ) и потому же, кстати, точный переход к пределу (4.5) не может иметь реального смысла. Во-вторых, в ситуациях, когда мы имеем достаточно большое число возможных элементарных исходов (а они могут образовывать и бесконечное, и даже, как это было уже отмечено в § 4.1, континуальное множество), даже в сколь угодно длинном ряду случайных экспериментов мы будем иметь возможные исходы ни разу не осуществившиеся в ходе нашего эксперимента; да и по остальным возможным исходам полученные с помощью относительных частот приближенные значения вероятностей будут в этих условиях крайне мало надежными.

  Апостериорно-модельный подход к заданию вероятностей отвечающему конкретно исследуемому реальному комплексу условий, является в настоящее время, пожалуй, наиболее распространенным и наиболее практически удобным. Логика этого подхода следующая. С одной стороны, в рамках априорного подхода, т. е. в рамках теоретического, умозрительного анализа возможных вариантов специфики гипотетичных реальных комплексов условий разработан и исследован набор модельных вероятностных пространств (биномиальное, пуассоновское, нормальное, показательное и т. п., см. § 6.1). С другой стороны, исследователь располагает результатами ограниченного ряда случайных экспериментов. Далее с помощью специальных математико-статистических приемов (основанных на методах статистического оценивания неизвестных параметров и статистической проверки гипотез, см. гл. 8 и 9) исследователь как бы «прилаживает» гипотетичные модели вероятностных пространств к имеющимся у него результатам наблюдения (отражающим специфику изучаемой реальной действительности) и оставляет для дальнейшего использования лишь ту модель или те модели, которые не противоречат этим результатам и в некотором смысле наилучшим образом им соответствуют.

  Опишем теперь основные правила действий с вероятностями событий, являющиеся следствиями принятых выше определений и аксиомы.

  Вероятность суммы событий (теорема сложения вероятностей). Сформулируем и докажем правило вычисления вероятности суммы двух событий Для этого разобьем каждое из множеств элементарных событий,

  составляющих события на две части:

  где объединяет все элементарные события со, входящие в но не входящие в состоит из всех тех элементарных событий, которые одновременно входят и в Пользуясь определением (4.3) и определением произведения событий имеем:

  В то же время в соответствии с определением суммы событий и с (4.3) имеем

  Из (4.6), (4.7) и (4.8) получаем формулу сложения вероятностей (для двух событий):

  Формула (4.9) сложения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа слагаемых (см., например, 183, с. 105):

  

  где «добавки» вычисляются в форме суммы вероятностей вида

  

  причем суммирование в правой части производится, очевидно, при условии, что все различны, . В частном случае, когда интересующая нас система состоит лишь из несовместных событии, все произведения вида

  будут пустыми (или невозможными) событиями и соответственно формула (4.9) дает

  Вероятность произведения событий (теорема умножения вероятностей). Условная вероятность.

  Рассмотрим ситуации, когда заранее поставленное условие или фиксация некоторого уже осуществившего события исключают из числа возможных часть элементарных событий анализируемого вероятностного пространства. Так, анализируя совокупность из N изделий массового производства, содержащую изделий первого, - второго, - третьего и - четвертого сорта мы рассматриваем вероятностное пространство с элементарными исходами и их вероятностями - соответственно (здесь означает событие, заключающееся в том, что наугад извлеченное из совокупности изделие оказалось сорта). Предположим, условия сортировки изделий таковы, что на каком-то этапе изделия первого сорта отделяются от общей совокупности и все вероятностные выводы (и, в частности, подсчет вероятностей различных событий) нам предстоит строить применительно к урезанной совокупности, состоящей только из изделий второго, третьего и четвертого сорта. В таких случаях принято говорить об условных вероятностях, т. е. о вероятностях, вычисленных при условии уже осуществленного некоторого события. В данном случае таким осуществленным событием является событие т. е. событие, заключающееся в любое наугад извлеченное изделие является либо второго, либо третьего, либо четвертого сорта. Поэтому, если нас интересует подсчет условной вероятности события А (при условии, что событие В уже имеет место), заключающегося, например, в том, что наугад извлеченное изделие окажется второго или третьего сорта, то, очевидно, эта условная вероятность (обозначим ее ) может быть определена следующим соотношением:

  

  Как легко понять из этого примера, подсчет условных вероятностей - это, по существу, переход в другое, урезанное заданным условием В пространство элементарных событий, когда соотношение вероятностей элементарных событий в урезанном пространстве остается тем же, что и в исходном (более широком), но все они нормируются (делятся на ) для того, чтобы и в новом вероятностном пространстве выполнялось требование нормировки (4.2). Конечно, можно было бы не вводить терминологии с условными вероятностями, а просто использовать аппарат обычных («безусловных») вероятностей в новом пространстве. Запись в терминах вероятностей «старого» пространства бывает полезной в тех случаях, когда по условиям конкретной задачи мы должны все время помнить о существовании исходного, более широкого пространства элементарных событий.

  Получим формулу условной вероятности в общем случае. Пусть В - событие (непустое), N считающееся уже состоявшимся («условие»), событие, условную вероятность которого требуется вычислить. Новое (урезанное) пространство элементарных событий Q состоит только из элементарных событий, входящих в В, и, следовательно, их вероятности (с условием нормировки ) определяются соотношениями

  

  По определению, вероятность - это вероятность события А в «урезанном» вероятностном пространстве и, следовательно, в соответствии с (4.3) и (4.10)

  

  

  или, что то же,

  Эквивалентные формулы (4.11) и (4.11") принято называть соответственно формулой условной вероятности и правилом умножения вероятностей.

  Еще раз подчеркнем, что рассмотрение условных вероятностей различных событий при одном и том же условии В равносильно рассмотрению обычных вероятностей в другом (урезайном) пространстве элементарных событий пересчетом соответствующих вероятностей элементарных событий по формуле (4.10). Поэтому все общие теоремы и правила действий с вероятностями остаются в силе и для условных вероятностей, если эти условные вероятности берутся при одном и том же условии.

  Независимость событий.

  Два события А и В называют независимыми, если

  Для пояснения естественности такого определения Еернемся к теореме умножения вероятностей (4.11) и посмотрим, в каких ситуациях из нее следует (4.12). Очевидно, это может быть тогда, когда условная вероятность равна соответствующей безусловной вероятности , т.е., грубо говоря, тогда, когда знание того, что произошло событие никак не влияет на оценку шансов появления события А.

  Распространение определения независимости на систему более чем двух событий выглядит следующим образом. События называются взаимно независимыми, если для любых пар, троек, четверок и т.д. событий, отобранных от этого набора событий, справедливы следующие правила умножения:

  

  Очевидно, в первой строке подразумевается

  

  (число сочетаний из k по два) уравнений, во второй - и т. д. Всего, следовательно, (4.13) объединяет условий. В то же время условий первой строки достаточно для обеспечения попарной независимости этих событий. И хотя попарная и взаимная независимость системы событий, строго говоря, не одно и то же, их различие представляет скорее теоретический, чем практический интерес: практически важных примеров попарно независимых событий, не являющихся взаимно независимыми, по-видимому, не существует.

  Свойство независимости событий сильно облегчает анализ различных вероятностей, связанных с исследуемой системой событий. Достаточно сказать, что если в общем случае для описания вероятностей всевозможных комбинаций событий системы нужно задать 2 вероятностей, то в случае взаимной независимости этих событий достаточно лишь k вероятностей

  Независимые события весьма часто встречаются в изучаемой реальной действительности они осуществляются в экспериментах (наблюдениях), проводимых независимо друг от друга в обычном физическом смысле.

  Именно свойство независимости исходов четырех последовательных бросаний игральной кости позволило (с помощью (4.13)) легко подсчитать вероятность невыпадения (ни при одном из этих бросаний) шестерки в задаче п. 2.2.1. Действительно, обозначив событие, заключающееся в невыпадении шестерки в бросании (эта возможность непосредственно вытекает из того, что события исчерпывают в сумме все пространство элементарных событий и попарно не пересекаются), т. е.

  Далее, воспользовавшись теоремой сложения вероятностей (применительно к несовместным событиям, каковыми являются события ) и вычислив вероятность каждого из произведений по формуле произведения вероятностей (4.1 Г), мы и получаем (4.14).

  Формула Байеса.

  Обратимся вначале к следующей задаче. На складе имеются приборы, изготовленные тремя заводами: 20 % приборов, имеющихся на складе, изготовлено заводом № 1, 50 % - заводом № 2 и 30 % - заводом № 3. Вероятности того, что в течение гарантийного срока прибору потребуется ремонт, для продукции каждого из заводов равны соответственно 0,2; 0,1; 0,3. Взятый со склада прибор не имел заводской маркировки и потребовал ремонта (в течение гарантийного срока). Каким заводом вероятнее всего был изготовлен этот прибор? Какова эта вероятность? Если обозначить событие, заключающееся в том, что случайно взятый со склада прибор оказался изготовленным на

  Подставляя (4.16) и (4.17) в (4.15), получаем

  

  Воспользовавшись этой формулой, нетрудно подсчитать искомые вероятности:

  

  Следовательно, вероятнее всего некондиционный прибор был изготовлен на заводе № 3.

  Доказательство формулы (4.18) в случае полной системы событий, состоящей из произвольного числа k событий, в точности повторяет доказательство формулы (4.18). В таком общем виде формулу

  

  принято называть формулой Байеса.