Построить чертеж точки определить положение в пространстве. Комплексный чертеж точки

В общем случае плоскости проекций разделяют все пространство на 8 частей, которые называют октантами. В практике изображения геометрических объектов на чертежах из соображения удобства и наибольшей наглядности проецируемый объект располагают в I октанте. Поэтому в нашем курсе начертательной геометрии мы ограничимся рассмотрением геометрических объектов, расположенных только в этом октанте.

В том случае, когда точка занимает частное положение в пространстве, ее проекции расположены особенным образом. Частным положением точки считаем такое, при котором она находится либо на оси проекций, либо в плоскости проекций. Так, если точка расположена на оси проекций, тогда две ее проекции лежат на этой оси, а третья в начале координат. Если точка расположена на плоскости проекций, тогда одна из ее проекций лежит в этой же плоскости, а две другие – на осях проекций.

Для точек, занимающих частное положение в пространстве, построения следует начинать с проекций, принадлежащих либо оси, либо плоскости проекций.

Для построения чертежей реальных деталей, имеющих конкретные геометрические размеры и привязанных к определенным координатам, необходимо установить взаимосвязь между проекциями точки и ее координатами.

Построение проекций точки по ее координатам

Пусть заданы координаты какой-либо точки А (x, y, z ). Тогда ее проекции строят следующим образом: сначала откладывают абсциссу по оси ОХ ; затем проводят вертикальную линию; далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ (вверх, либо вниз от оси ОХ в зависимости от знака координат y, z ). По оси OY получают горизонтальную проекцию А 1 , по оси OZ - фронтальную А 2 . Профильную проекцию А 3 строят по А 1 и А 2 (либо по координатам). Например, построим проекции точки А (10, 20, 30), заданной конкретными координатами. Построения показаны на рис. 1.4.

Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и y , фронтальной проекции - координатами х и z , профильной проекции - координатами y и z . Ордината y всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата – фронтальной.

Рис. 1.4. Взаимосвязь координат точки и ее проекций:

а) вид в аксонометрии; б) комплексный чертеж.

Исходя из тех же положений, решается обратная задача – определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чертеже изображены проекции точки, тогда, измерив соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.4, б). Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т.к. любая пара проекций однозначно задается тремя координатами.

Удаленность точки от плоскостей проекций

Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Октант	Наглядное изображение	Комплексный чертеж
I
II
III
IV

Пример построения третьей проекции точки по двум заданным

Точка в пространстве определяется любыми двумя своими проекциями. При необходимости построения третьей проекции по двум заданным необходимо воспользоваться соответствием отрезков линий проекционной связи, полученных при определении расстояний от точки до плоскости проекций (см. рис. 2.27 и рис. 2.28).

Примеры решения задач в I октанте

Дано А1; А2	Построить А3
Дано А2; А3	Построить А1
Дано А1; А3	Построить А2

Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)

Таблица 2.5 Алгоритм построения точки А по заданным координатам А (x = 5, y = 20, z = -9)

Вербальная форма	Графическая форма
Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3	Согласно табл. 2.3, это знаки 4-го октанта
Построить наглядное (аксонометрическое) изображение 4-го октанта
Определить механизм совмещения плоскостей
Построить комплексный чертеж 4-го октанта
Отложить координаты точки на осях: x = 5, y = 20, z = -9
Перенести координаты точки на оси комплексного чертежа
Построить горизонтальную, фронтальную и профильную проекции точки А (табл. 2.4)
Построить проекции точки А (А1, А2, А3) на комплексном чертеже (табл. 2.4)

проекция точка октанта перпендикулярный чертеж

В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти.

Выводы

Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.

Эта теория основывается на следующих положениях:

1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей p1 и p2, либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости p3.

2. Изображение пространственного образа на эти плоскости получается с помощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.

3. Для преобразования пространственного изображения в плоскостное считают, что плоскость p2 – неподвижна, а плоскость p1 вращается вокруг оси x так, что положительная полуплоскость p1 совмещается с отрицательной полуплоскостью p2, отрицательная часть p1 – с положительной частью p2.

4. Плоскость p3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоскостей) до совмещения с плоскостью p2 (см. рис. 2.31).

Изображения, получающиеся на плоскостях p1, p2 и p3 при прямоугольном проецировании образов, называются проекциями.

Плоскости p1, p2 и p3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскостной комплексный чертеж или эпюр.

Линии, соединяющие проекции образа ^ осям x, y, z, называются линиями проекционной связи.

Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей p1, p 2, p 3.

В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему p1, p2, либо p1, p2, p3.

Систему плоскостей p1, p2, p3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).

Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как:

· расположение точки относительно плоскостей проекций (общее положение, принадлежность плоскости, оси);

· положение точки в четвертях (в какой четверти расположена точка);

· положение точек относительно друг друга, (выше, ниже, ближе, дальше относительно плоскостей проекций и зрителя);

· положение проекций точки относительно плоскостей проекций (равноудаление, ближе, дальше).

Метрические задачи:

· равноудаленность проекции от плоскостей проекций;

· отношение удаления проекции от плоскостей проекций (в 2–3 раза, больше, меньше);

· определение расстояния точки от плоскостей проекций (при введении системы координат).

Размещено на Allbest.ru

Построить комплексные чертежи точек: А (15,30,0), В (30,25,15), С (30,10,15), D (15,30,20)

Решение задачи разделим на четыре этапа.

1. А (15,30,0); x A = 15 мм; y A = 30мм; z A = 0.

Как Вы думаете, если у точки А координата z A =0, то какое положение она занимает в пространстве?

Так выглядит комплексный чертеж точки А построенный по заданным координатам

Если у точки одна координата равна нулю, то точка принадлежит одной из плоскостей проекции. В данном случае у точки нет высоты: z = 0, следовательно точка А лежит в плоскости П 1 .

На комплексном чертеже оригинал (т.е. сама точка А ) не изображается, есть только ее проекции.

2. В (30,25,15) и С (30,10,15).

На втором этапе объединим построение двух точек.

x B = 30мм; x C = 30мм

y B = 35мм; y C = 10мм

z B = 15мм; z C = 15мм

У точек В и С : x B = x C = 30мм, z B = z C = 15мм

а) Координаты х точек одинаковы, следовательно, в системе П 1 – П 2 проекции точек лежат на одной линии связи (рис. 1.2),

б) Координаты z точек совпадают, (обе точки одинаково удалены от П 1 на 15мм,) т.е. они расположены на одной высоте, следовательно на П 2 проекции точек совпадают: В 2 = (С 2).

в) Для определения видимости относительно П 2 смотрим на рис. 1.3. Наблюдатель видит точку В , которая закрывает собой точку С , т.е. точка В расположена ближе к наблюдателю, поэтому на П 2 она видима. (См. М1 - 13 и 16).

В системе П 2 П 3 проекции точек также лежат на одной линии связи и видимость определяется по стрелке (рис. 1.2).

Точки В и С - называются фронтально конкурирующими.

3. D (15,30,20); x D = 15мм; y D = 30мм; z D = 20мм.

а) На этом комплексном чертеже (рис. 1.4) построены три проекции точки D (D 1 , D 2 , D 3).

Все три координаты имеют числовые значения, отличные от нуля, поэтому точка не принадлежит ни одной плоскости проекций.

б) Совместим пространственное изображение А и D (рис. 1.5). В системе П 1 -П 2 проекции точек А и D лежат на одной линии связи, только точка D выше точки А , следовательно D - видима, а А - невидима (видима на П 1 та точка, которая расположена выше)

На четвертом, завершающем этапе, соединим все три фрагмента комплексных чертежей точек А,В,С, D в один общий.

Точки А и D - называются горизонтально конкурирующими.

Для однозначного определения положения точки в пространстве необходимо и достаточно иметь проекции на двух плоскостях проекций, но в инженерной практике при построении проекций различных предметов с целью полного выявления их формы часто используют больше двух плоскостей проекций. Поэтому рассмотрим построение проекций точки на трех плоскостях проекций (рис. 1, 2)

Рис. 1 Рис. 2

Одна из плоскостей проекций расположена горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций , и обозначается П 1 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 1: А 1 , а 1 , … и называются горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Плоскость, расположенная перед наблюдателем, перпендикулярно первой, называется фронтальной плоскостью проекций , и обозначается П 2 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 2: А 2 , а 2 , … и называются фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Плоскость, расположенная справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, называется профильной плоскостью проекций , и обозначается П 3 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 3: А 3 , а 3 , … и называются профильными проекциями . Линию пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций принимают за ось координат х . Линию пересечения горизонтальной и профильной плоскостей проекций принимают за ось координат у . Линию пересечения фронтальной и профильной плоскостей проекций принимают за ось координат z .

Для получения комплексного чертежа (или Эпюра Монжа - рис. 4) – за плоскость чертежа принимают фронтальную плоскость проекций П 2 , горизонтальную плоскость проекций П 1 x , а профильную плоскость проекций П 3 совмещают с плоскостью чертежа вращением вокруг оси z . Чертеж – это две (или более) проекции точки, совмещенные на одной плоскости (плоскости чертежа) и связанные линиями проекционной связи. Прямая А 1 -А 2 , соединяющая горизонтальную и фронтальную проекцию точки, называется вертикальной линией связи; прямая А 2 - А 3 , соединяющая фронтальную и профильную проекции точки, называется горизонтальной линией связи.

Рассматривая чертеж точки, выделяют, что:

· две проекции точки принадлежат одной линии связи;

· линии связи перпендикулярны соответствующим осям координат;

· две проекции точки необходимо и достаточно для определения положения точки в пространстве, и две проекции точки определяют её третью проекцию.

Три основные плоскости проекций могут рассматриваться и как координатные плоскости, если точка задана координатами. Зная координаты точки можно построить её комплексный (рис. 3 а) и аксонометрический (рис. 3 б) чертеж.

Рис. 3 (а,б)

Задачи

Задача 4. Какие координаты надо знать, чтобы построить проекции точки?

1. Наибольшее применение в технической практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным.

Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекций 1 располагается вертикально перед наблюдателем и поэтому называется фронтальной плоскостью проекций (рис. 5а), а другая плоскость 2 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций . Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций 1 и 2 какую-нибудь точку А , тогда получим две ее проекции: фронтальную проек- цию А 1 на плоскости 1 и горизонтальную проекцию А 2 на плоскости 2 .

Проецирующие прямые АА 1 и АА 2 , при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А 1 АА 2 , перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х . Прямые А 1 А x и А x А 2 , являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций 1 и 2 , будут перпендикулярны к оси проекций х .

Обратно, каждая пара точек А 1 и А 2 , соответственно принадлежащих плоскостям 1 и 2 и расположенных на перпендикулярах к оси х , восстановленных из одной и той же точки А х , определяет в пространстве единственную точку А . В самом деле, если провести через точки А 1 и А 2 перпендикуляры А 1 А и А 2 А соответственно к плоскостям 1 и 2 , то они, находясь в одной плоскости А 1 А x А 2 , пересекутся в некоторой точке А .

Расстояние А 2 А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А , а ее расстояние А 1 А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А .

2. Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций 2 c плоскостью 1 , вращая плоскость 2 вокруг оси х в направлении, указанном на рис. 5а стрелкой. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 5б), состоящий из двух проекций А 1 и А 2 точки А , лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси х . Прямая А 1 А 2 , соединяющая две проекции точки, называется линией связи .

Полученный комплексный чертеж будет обратимым , т. е. по этому чертежу можно определить или, как говорят, реконструировать оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию А 1 точки А и имея на чертеже ее глубину f =IА x А 2 I, можно реконструировать точку А . Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А 1 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки А .

3. Рассмотренный принцип образования комплексного чертежа получил со времен Монжа широкое распространение в учебной литературе. Однако в технической практике нет необходимости в определении положения изображаемого оригинала относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций. Основанием этому может служить установленное в § 1 (2) свойство 6, что проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

Образование комплексного чертежа точки А при нефиксированных плоскостях проекций показано на рис. 6. В этом случае плоскости проекций 1 и 2 совмещают с плоскостью чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости на плоскостях 1 и 2 лежали бы на одной прямой (рис. 6б)  . Это возможно сделать и при образовании комплексного чертежа любого множества точек, так как проекции всех проецирующих плоскостей этих точек на обеих плоскостях проекций будут параллельны, а расстояния между проекциями каждых двух из этих плоскостей на плоскостях 1 и 2 равны между собой. Для удобства чтения чертежа плоскость 2 считают расположенной ниже всех точек оригинала, а плоскость 1 – сзади всех точек оригинала.

Изображение на плоскости проекции 1 в технической практике называют видом спереди , или, короче, видом 1 , отображение же на плоскости проекций 2 называют видом сверху , или видом 2 . Реконструи- рование оригинала по его комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, производят по его виду спереди 1 и измеренным на чертеже глубинам точек оригинала по отношению к фиксированной в произвольном положении плоскости проекции 1 (рис. 6а); на виде сверху эту плоскость обозначим знаком треугольника.

Фиксированные плоскости проекций, по отношению к которым производят какие-либо измерения, в дальнейшем будем называть базовыми плоскостями.

Таким образом, для реконструкции точки А по ее комплексному чертежу (рис. 6б) нужно восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А на виде спереди и отложить на нем от плоскости чертежа глубину f точки А , измеренную на виде сверху от базовой плоскости, отмеченной на этом виде знаком треугольника (вид сверху этой базовой плоскости будем называть базой отсчета глубин).

Конец этого перпендикуляра определит положение точки А по отношению к плоскости чертежа. Так как положение базовой плоскости выбирается произвольно, то при реконструкции оригинала по комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, его положение определяется с точностью до параллельного переноса.